數位訊號處理第3部分-傅立葉變換
步驟2：背後的演算法
複數是傅立葉變換演算法中的一個重要概念。複數可以表示為z = a + bi，其中a & b為實數，i是虛數，為x2= -1 的解（因為該式沒有實數解，所以解被認為是虛數）。
下圖顯示了如何用圖形表示複數。您可以通過Argand 圖對複數進行幾何表示。x軸表示複數的實部，y軸表示複數的虛部。
圖6：複數的實部和虛部
時域和頻域的每個分量都由包含了N個複數點的訊號來描述。每個點都由用於描述訊號分量的實部和虛部組成。有一個應用于現實生活中的電氣工程領域的實例：使用傅立葉變換可以説明我們分析變化的電壓和電流。
快速傅立葉變換（FFT）的過程是將一個包含N個樣本點的時域訊號分解為N個時域訊號，每個時域訊號表示一個樣本點資訊。第二步是計算這N個時域訊號相對應的N個頻譜。最後，將N個頻譜合為一個頻譜。
點擊此處可以找到有關傅立葉變換的更多資訊。
圖8：時域分解
使用傅立葉變換時的一些重要規則如下：
- 時域中的點數等於頻域中的點數。
- 假設您有一個包含DC值的正弦波 – 頻譜中的第一個點將具有零頻率值（DC值），而下一個點為正弦頻率。
- 當從時域轉為頻域時，可以使用第n個點的頻率進行繪製：f = (n-1) SR/N，其中N為樣本點數。
- 頻率為f = 1/T，其中T為週期。
讓我們來看一下下面的代碼，以瞭解在MATLAB中是如何實現傅立葉變換的。
t = 0:1/1000:1-1/1000;
x = sin(2*pi*30*t);
plot(t,x)
從向量t中可以觀察到，點採樣是在1/1000範圍內進行的，因此取樣速率為1000 Hz（1000 1s或 s-1）。您還記得之前的文中提到的取樣速率應該是訊號頻率的兩倍嗎？
下麵的正弦波的頻率為30Hz。
圖9：在MATLAB中生成的正弦波
當我們想要進行傅立葉變換時，使用fft(x)指令。
y = fft(x);
f = (0:length(y)-1)*1000/length(y);
plot(f,abs(y))
當我們在頻域中繪圖時，x軸將除以2。
使用傅立葉變換後，我們只需要一半的取樣速率即可觀察到訊號的頻譜分量。
圖10：MATLAB中的fft函數圖
當在正弦訊號上應用FFT時，其唯一的屬性是與時域中所描述的頻率點相對應的頻譜分量，在本例中為30 Hz。
如果將長度指令應用于向量t，則返回：
>> length(t)
ans =
1000
如圖 11所示，當我們對所有點進行繪製時，可以觀察到一個有趣的現象：970 Hz（1000-30 Hz）處還有一個頻譜分量。這意味著y軸以500 Hz為中心發生了鏡像翻轉，對應了取樣速率除以2的結果。
目前為止，我們的項目已經快要完成了。請繼續閱讀下一篇文章來瞭解如何添加失真濾波器使訊號發生變形。然後，我們將在使用MATLAB創建的GUI上繼續對聲音訊號進行處理。
